memo:対数logとは何なのか

logとは何なのか、下部の2冊を参考に書きました。

世界は足し算でできている 古代ギリシャからコンピューターまで

世界は足し算でできている 古代ギリシャからコンピューターまで

 
直観でわかる数学

直観でわかる数学

 

 

対数logとは何なのか、ずっと腑に落ちなかったが上記2冊の本参考にどういうことなのか書いてみたい。

 

まず対数の前に、足し算や掛け算、指数などの演算を以下のように分類してみた。

増やす系:足し算→掛け算→指数

減らす系:引き算→割り算→対数

増やす系ならば必ず値が増加し、減らす系なら減少するとは限らないが、
イメージとして、増やす系と減らす系の2系統に分けた。

足し算と引き算、
掛け算と割り算、
指数 と 対数、

これらは対となる。

まず、足し算と引き算。
8 + 3 = 11
11 - 8 = 3

足し算は2つの数を足し合わせた値になり、引き算は引く数(8)に何を足したら引かれる数(11)になるかということである。

 

次に、掛け算と割り算。
2+2+2+2+2+2 = 2 × 6= 12
12 ÷ 2 = 6

掛け算は同じ数を何回足すかということであり、2を6回足すと12になる。
割り算は2を何回足すと(何倍すると)12になるかということである。

 

 

最後に、指数と対数。
2×2×2×2×2×2×2 = 2^6 = 64

log2 64 = 6

指数は同じ数を何回掛けるかということであり、2を6回掛けると64になる。
対数は(log2の場合)、2を何回掛けると(何乗すると)64になるかとうことであり、6回掛けると64になるので答えは6となる。

 

対数log2やlog10などは、割り算で言う2や10で割る感覚に近い。
2や10などを何回掛けるとその数になるかというイメージである。

64や1024など大きい数をlog2で"割る/切り刻む"と6や10といった答えが出る。
log2 64 = 6      (64は2を"6"乗した数) 
log2 1024 = 10 (1024は2を"10"乗した数)

 

1073741824   は8を何乗した数か。

0.000019683  は0.3を何乗した数か。

以下関数電卓で計算したもの。

log8 1073741824 = 10   (1073741824は8の10乗したもの)

log0.3  0.000019683 = 9  (0.000019683は0.3を9乗したもの)

対数logを使えば、非常に大きな数や小さな数を何かの何乗したものとして取り扱うことができる。

memo:なぜ分数の割り算はひっくり返すのか

分数の割り算はなぜひっくり返すのか、誰もが小さい時、疑問に思うことである。

大人になるとそもそも割り算(÷)自体使わなくなり全て分数で表現するので、上記の疑問はなくなっていく。

大人になってからこの問題を再考してみる。
なぜ分数の割り算ひっくり返すのか

 

割り算とは、そもそも単位当たりの量を計算するためにあると考える。
12個のりんごを4人に均等に配ったら、1人当たりいくらのりんごを貰えるのか。
りんご、みかん、人、は自然数だとイメージしやすいが、連続量をイメージすることは難しい。

そこで割り算の登場人物としてりんごではなく連続量がイメージしやすいものを登場させる。
例えば、重さ、距離、時間、速さ、価値、体積、これらの量だと連続量がイメージしやすい。
単位当たりの量を計算するための割り算にこれらの連続量をイメージしやすいものを登場させてみる。

実際に、単位当たりの計算を以下の文章題で考えてみた。

 

ある店と別の店では同じ燃料が売られていた。
両方とも売っている燃料の量は違うし、もちろんその値段も違う。
どちらの店で買った方が得か、考えてみる。

2リットル  3ドル で燃料Aを売っている店で買うか、
3/5リットル 3/4ドル で燃料Aを売っている店で買うかどちらが得か。

得の定義を1リットル当たりの値段にした時どちらが安いか、という事にする。
1リットル当たり何ドルするかという式は以下になる

3ドル ÷ 2リットル = 3/2 ドル、1リットル当たり・・・①

3/4ドル ÷ 3/5リットル =○○ドル、1リットル当たり・・・②

 

問題になるのは ②式を計算するとどのような値になるのかである。

②式を求めるのに、式変形によって解くのではなく、あくまでも1リットル当たり何ドルするかで求める。

燃料A 3/5リットルを1リットルにするには、5/3倍する必要がある・・・・④
燃料Aを5/3倍したので値段も5/3倍する。

3/4ドル × 5/3 =  5/4 ドル、1リットル当たり・・・⑤

 つまり、②式を文章問題を解くように計算すると、⑤式になり、ちょうど割る数の分数がひっくり返った形になる。
なぜひっくり返った形が出てきたかというと④で1リットル当たりにするために逆数倍しているからである。

割り算を単位当たりの量を求める式だとすると、1単位を計算する過程で必ず逆数倍する行為が出てくる。

これが分数で割り算をするとひっくり返る形が出てくる理由である。

 

別のアプローチはないだろうか。

12  ÷ 4 = □

何の変哲も無い割り算、はじめて割り算が出てきた時はこう考えた。

4を何倍したら12 になるのか。
4を3倍すると12になるよって、上記の式は3である。

12 ÷ 4 = □
4 × □ = 12

□ = 3

 

この流れを分数でも適用する。

2/3 ÷ 7/5 = □

この式は、7/5を何倍したら2/3になるのかということである。つまり、

2/3 ÷ 7/5 = □
7/5 × □ = 2/3

と書き直せる。しかし、□の値を求めるのは暗算では難しい。
7/5に逆数の5/7を掛け、その次に2/3を掛けると2/3になる。

7/5 ×  5/7 × 2/3  = 2/3
7/5 × ( 5/7 × 2/3 ) = 2/3

7/5 ×      □         =2/3

□ = 5/7 × 2/3

よって、

    2/3 ÷ 7/5 
= 5/7 × 2/3 = 2/3 × 5/7

長い式変形となったが、ひっくり返った分数を掛ければいいことがわかった。

 

このように単位当たりにしたり□に置き換えてみたりして、分数による割り算を考えたが、やはり公式として"ひっくり返して掛ける"という式変形するという計算の方が早いし間違えることもないであろう。

(繁分数式を使えば上記の分数の割り算問題は解決する。しかし繁分数とはどういうことなのかという新たな疑問が出ることになる)

memo: なぜマイナス1を引くと1増えるのか

7-(-1)=8
マイナス1を引くと1増える。
マイナス掛けるマイナスはプラスだから上記の式はこう書ける
7-(-1)=7+1=8

 

なぜマイナス掛けるマイナスはプラスなのかと聞かれれば
同符号の掛け算はプラスになるからだとか、そういうものなのだと公式として覚えておいて試験にパスさえすればいいと思っていた。

 

しかし、知人のお子さんがなぜマイナス1を引くと1増えるのかという質問に、そうなっているからという回答はスマートではない。

 

大人になって考えてみた。自分だったらどう答えるのか。

ある数XとYについて以下①②を使って計算したい。
X-(-Y)
A+B+(-B)=A・・・①余分に足したものを同じ分だけ引けば元の数になるよね

C-C=0  ・・・②同じものを引けば0になるよね

 

X-(-Y)   //上記①を使用し+Yと(-Y)を足す
=X+Y+(-Y)-(-Y)    //上記②を使用し(-Y)-(-Y)=0とする
=X+Y+0
=X+Y    //-(-Y)が+Yに変わった

 

うーむ、上記の説明で余計に混乱させてしまうかもしれない。

私が中学生の頃は定期テストのことしか考えておらず、この手のなぜという疑問はあまり考えてこなかった。たしかにタイトルのことでずっと考え込んでしまうとその先が全く進まないし、進んだ先で理解できるようになることがある。

しかし、このなぜという問い自体は素晴らしい問いなので、回答できるように準備しておきたい。

 

7-(-1)
=7+1+(-1) -(-1)
=7+1 + 0
=7+1
=8

 

本の紹介"イラスト図解式 この一冊で全部わかるサーバーの基本"

インターネット、サービス、人工知能

 

プログラムは得意であるが、サーバ・ネットワーク周りのことは苦手である。

スタンドアロン環境で実行するだけならば、サーバやネットワーク関連の知識は必要でなく、手元のPCで動いてくれればいい。

しかし、遠くの目標としてプログラムで実装したものを何らかの"サービス"としてインターネット上に公開したい。

今ならばパブリッククラウドなどを使えば、物理サーバを買わずとも安価で仮想サーバを立てることはできる。

 

最近、人工知能の文脈でプログラミング言語がクローズアップされることが多くなってきた。

特に機械学習のライブラリが豊富なPyhton, R。

それらを駆使し人工知能を実現することは今後重要になることは間違いない。

 

実装した人工知能スタンドアロン環境で実行するだけでなく、"サービス"としてインターネットで公開したいと思う。

ことまで考えているなら、"サーバ"周りの知識が必要になる。

 

本書は、"サーバとネットワーク"周りの主なキーワードについて図解で非常に分かりやすく説明してくれる。

 

"サーバ"を構築し、その上にサービスを実装しなければならない。

サーバの知識、ネットワークの知識がここで必要になる。

 

もちろん、一人でやらず専門の人にやってもらうのが良いと思うが、一人でやらざるを得ない時もある。

現在は、物理サーバを購入しなくても、AWSなど仮想マシンを従量課金で借りてくることもできる。

実験的に比較的コストの安い小さな仮想マシンでサーバを構築し、インターネット上にサービスを公開することもできる。そこで反響があればスケールアップして再度サービスを公開すれば良いのだ。

 

サーバの知識について初心者にも非常ややさしく図解で説明してくれる。

サーバ初心者の1冊目としてオススメの本です。

 

イラスト図解式 この一冊で全部わかるサーバーの基本

イラスト図解式 この一冊で全部わかるサーバーの基本

 

 

 

 

本の紹介”マンガでわかる地政学  -茂木誠”

地政学の言葉にシーパワーとランドパワーという言葉が出てきます。

 

自由に海上交通ができる国、シーパワーの国。

海への出口が少なく内陸で周辺の国と対峙する国、パワーランドの国。

それぞれ戦略が違います。

 

シーパワーの国は海上交通ができるという強みがあります。シーパワーのイギリスは海上権を握り植民地を得ました。

要所である海峡を自由に安全に渡り、シーレーンを確保することがシーパワーのやらなくてはならないことになります。

 

対して、内陸で周辺国と対峙する海への進出があまりないパワーランドの国は、自由な海上交通ができるようシーパワーの国にプレッシャーをかけ、海への出口を模索します。ランドパワーの大国が、港を手に入れ自由な海上交通が可能になれば、さらに影響力を高めることができます。

特に東欧ではランドパワー大国ロシアの脅威、

東南アジアではランドパワー大国 中国の脅威、

これらに対応するために同盟を組んで包囲網を組んだり、対抗するのをやめその国の順属国になったりします。

 

"世界警察"アメリカの相対的な力の衰退、ランドパワー大国 中国の台頭、世界情勢は、刻一刻と変わっていきます。

アメリカの後ろ盾がなくなった時日本は、中国やロシアなどの大国とどう向き合うのか対応を突きつけられることになるでしょう。

 

国の存亡を賭けた競争は"常に"続いているので。

我々もその競争の渦中にいることは間違いありません。

地政学は、どう生き延びていくか私たちに地図の役割を果たしてくれます。

 

マンガでわかる地政学 (池田書店のマンガでわかるシリーズ)

マンガでわかる地政学 (池田書店のマンガでわかるシリーズ)

 

 

本の紹介”二人で一人の天才 Power of Two”

過去を振り替えたった時、ただの”友達”とは違う特別な”パートナー”と呼んでもいいくらいの人を思い返すことができる。

恋人でもないのに、考えていることがだいたい分かり、たいていの問題なら2人で解決できるかもしれない、そう思わせるような関係。

 

 

この本では、今まで成功してきた”パートナー像”にスポットを当てます。

そのパートナー像は、今までスポットライトにあたっていた”1人で孤高な天才像”を否定します。一方が表向きではスポットライトに当たっていたとしても、その片方でペアとなって活動していた人がいたはずであると。

 

1人でできることは限られているが、2人なら急にできることが増える。

 

パートナーに初めて出会ってから経験する"邂逅、融合、弁証、距離、絶頂、中断"という経過。

パートナーがどのように生まれ、どのような経過を経ていくのかを、いくつかの事例を交えて記述していきます。

 

1足す1が10にも1000になるような人間関係。 

人間関係の最小単位は2人です。その2人の関係性を考える上でも貴重な一冊になっています。

 

本の紹介”東大教授が教える独学勉強法 -柳川範之”

本書は”学問”を志す人に向けて書かれた本です。
特にアカデミックな場所に頼ることがない”独学”で勉強する人に向けられて書かれています。

(学受験や資格対策の勉強はこの本の範疇ではなく、
 あくまでも”学問”を”独学”するための人に向けれて書かれています)

 

人によって勉強スタイルは違います。
学校の勉強の仕方や先生との相性が自分と合わないだけで
その”学問”がつまらなくなってしまうことはその人にとって大きな損失です。

しかし、”独学”では自分のペースで自分に合ったスタイルで勉強を進めることができます。そこが”独学”の最大のメリットと言えます。

 

筆者は家族の転勤の都合で海外での暮らしが長く、その中で独学方法を身につけたと言います。

本を二回繰り返して読む方法や、本の著者と”喧嘩”しながら読む方法など
筆者の独学のヒント・エッセンスが詰まった本となっていて
”学問”を”独学”で志す人には最適な本だと思います。

 

そして世の中には、大学などの研究機関に所属せず、普通の生活をしながら研究する人がいます。(”在野の研究者””在野研究者”とも言えます)
その”在野研究者”にスポットライトを当てて書かれているのが『これからのエリック・ホッファーのために: 在野研究者の生と心得』(以下の本です)。

在野研究者について書かれている本はそんなに多くはありません。
そういった意味で、とても貴重な本だと思います。

この本の中で、在野で研究するにあたってどう困難を乗り越えていったか
16人の在野研究者を紹介しながら、在野研究の心得を伝授してくれます。

在野で研究する方には一読の価値のある本です。

 

これら2冊を通して、
研究機関への所属や高い学歴など確かにあれば便利ですが、
そういったものがなくても”独学”あるいは”在野”といった状況にあっても
”学問”あるいは”研究”はできるという可能性を示してくれた貴重なことを教えてもらったような気がします。

在野で研究している人の中からスターが生まれることを願います。